Мафҳумҳои асосии омор

1. Маҷмӯи генералӣ ва интихобӣ
2. Қаторҳои вариатсионӣ ва графики онҳо
3. Бузургиҳои миёна
4. Вариатсия, ковариатсия ва коррелятсия

Адабиёт

1. Ҷобиров Ҷ., Табаров О., Бобоева Р., Сатторов А. Эконометрика. Дастури таълимӣ., Душанбе 2007.
2. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособ.. – М.: Из-во «Экзамен»,2002.
3. Доугерти Кристофер. Введение в эконометрику. Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М.XIV, 1997, – 402 с.

1. Маҷмӯи генералӣ ва интихобӣ

Масъалаи асосии омори математикӣ, ин тадқиқи маҷмӯи генералии оморӣ, яъне муайянкунии хосиятҳои эҳтимолии маҷмӯи, тақсимот, характеристикаҳои ададӣ ва ғ. мебошад. Маҷмӯи генералиро ҳангоми ченкуниҳои зиёд (ченкунии беохир), ҳосил намудан мумкин аст, яъне ҷамъкунии пурраи ҳамаи қиматҳо, ки дар он бузургиҳои тасодуфӣ низ қабул карда мешавад. Одатан аз маҷмӯи генералӣ, интихоб мегузаронад, ки дар шароити реалӣ қимати муайяншудаи натиҷавӣ бузургии тасодуфӣ мебошад.

Бузургии тасодуфӣ бузургест, ки тасодуфан ягон қиматро аз маҷмӯи қиматҳои худ, қабул мекунад. Адади интихобшударо ҳаҷми интихоб меноманд. Маҷмӯи генералӣ ин ҳудуди интихоб аз ҳаҷми беохир мебошад. Бо ёрии интихоб, маҷмӯи генералӣ аз рӯи хосиятҳои эҳтимолӣ баҳо дода мешавад.

Масъалаи асосӣ ва тайиноти омор дар он аст, ки кумак ба мардум дар фаҳмиши проблемаҳое, ки вомехуранд, мебошад.

Интихоби объект аз маҷмӯи генералӣ ва ченкунии қимати аломатҳои онро мушоҳидаи оморӣ меноманд.

Протсесси ба системадарории натиҷаҳои маҷмӯи мушоҳидаҳо ва якҷоякунии онҳо ба гуруҳҳои якҷинса аз рӯи ягон аломатро, гуруҳбандӣ меноманд.

Гӯрӯҳбандӣ бояд ба талаботи масъалаи гузошташуда ҷавобгӯ ва ба мазмуни ҳодисаи омӯхташаванда мувофиқ бошад.

2. Қаторҳои вариатсионӣ ва графики онҳо

Байни гӯрӯҳбандиҳо ҷои намоёнро қаторҳои вариатсионӣ мегирад.

Вариатсия ин аломати лаппиш тағйирёбии бузургии воҳиди аломат, ки ба таркиби маҷмӯъ дохил мешавад.

Қатори вариатсионӣ гуфта маҷмӯи қиматҳои аломати тағйирдиҳӣ ва маҷмӯи ададии воҳидҳои мувофиқро меноманд, ки он дискретӣ (канишдор) ё интервалӣ (бефосила) шуда метавонад.

Вариатсияро дискретӣ меноманд, агар қимати алоҳидаи ало-мат (вариант) аз якдигар бо ягон бузургии охирнок фарқ кунад, яъне дар намуди ададҳои канишнок дода шуда бошад.

Вариатсияро бефосила меноманд, агар қимати аломат бо бузургии ихтиёрии хурд, аз якдигар фарқ кунад.

Мисол. Нисбати мағозаҳои ордфурушӣ, ки 65 мағозаро дар бар мегирад, қатори вариатсионӣ сохта шавад. Миқдори ордҳои аз ҳар як мағоза фурухташуда чунин аст.

8,9,12,10,6,7,11,8,9,12,7,6,11,5,8,8,6,12,5,9,7,10,6,8,9,11,8,7,10,9,5,10,8,11, 6,7,9,8,6,11,7,10,8,9,7,8,8,10,9,11,10,8,7,8,10,7,9,10,8,5,7,9,8,6.

Барои аз худ кардани ин маълумотҳо, онҳоро бо назардошти такроршавии вариант дар ин маҷмӯъ, ба қатор мегузорем, ки дар натиҷа қатири вариатсионӣ ба вуҷуд меояд: Ҷадвали 1.

Вариантҳо хi	8	9	12	10	6	7	11	5
Адади вариантҳо fi	15	10	3	9	7	11	6	4

Миқдори умумии нишондиҳандаҳои дар маҷмӯи вариантҳо такроршавандаро зуддӣ ё вазни вариант меноманд. Суммаи умумии зудии қатори вариатсионӣ, ба ҳаҷми ин маҷмӯъ баробар аст, яъне ҳаҷми интихоб

Графики қаторҳои вариатсионӣ.

Барои саҳеҳтар пешниҳод кардани қаторҳои вариатсионӣ, тасвири графикии он бо истифодаи системаи координатӣ иҷро карда мешавад, ки дар тири абсисса қимати аломатҳо ва дар тири ордината зудии онҳоро гузошта мешавад.

Барои қаторҳои вариатсионии дискретӣ, аз ҳар як нуқтаи абсисса, ки ба он ин ё он қимати аломат мувофиқат мекунад, перпендикуляри баландиаш ба зуддии аломати додашуда мувофиқ аст, гузаронида мешавад. Пайдарпай нуқтаҳои дар график мавҷудбударо байни ҳам пайванд карда, бисёркунҷаи тасвиркунандаи полигони тақсимотро ҳосил мекунем. Хате, ки нуқтаҳоро бо ҳам пайванд мекунад, хати каҷи вариатсионӣ ё хати каҷи зудии тақсимоти қатори вариатсионӣ, номида мешавад. Чӣ хеле, ки дар боло қайд шуд, полигон бисёртар барои тасвири қатори вариатсионии дискретӣ татбиқ карда мешавад, вале мумкин аст барои қатори вариатсионии интервалӣ низ татбиқ карда шавад. Суммаи дарозии ҳамаи ординатҳои полигон ба суммаи зудии қатори вариатсионӣ n ё баробар аст.

Полигони тақсимоти мағозаҳои ордфуруши барои 65 мағоза (ҷадвали 1) дар расми зерин оварда шудааст.

Графики катори вариатсиони

4

7

11

15

10

9

6

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

5

6

7

8

9

10

11

12

Вариантхо хi

Адади вариантҳо fi

Расми 1. Полигони тақсимоти қатори вариатсионии дискретӣ.

3. Бузургиҳои миёна

Бузургии миёна дорои устувории калон буда, қобилияти бо як адад тавсифи гуруҳи бутуни воҳидҳои якҷинсаро дорад. Масалан, афзоиши миёна, маҳсулнокии миёна, ҳосилнокии миёна, давомоти миёна ва ғайра.

Қиматҳои миёна дар хосиятҳои якҷоякунӣ ё ба мувозинатории ҳамаи моилиҳои инфиродӣ мебошад, ки дар натиҷа он устуворӣ пайдо мешавад ва хусусияти ба худ хоси сифатноки объекти тағйирёбандаро ифода мекунад, ки ин имконияти фарқкунии як гурӯҳи объектро аз дигараш медиҳад.

Бузургиҳои миёна фақат тавсифи маҷмӯи вариантҳои якҷинсаро дода метавонад. Агар миёна дар асоси материали ғайриякҷинса ё интихоби нодуруст, беназардошти хусусияти хоси ҳодиса ё протсесс ҳосил карда шуда бошад, он нодуруст аст, яъне ҳисобкунии бузургиҳои миёна фақат барои мушоҳидаҳои якҷинса муайян карда мешавад.

Бузургиҳои миёна якчанд намуд мешавад. Ба сифати тавсифи омории қаторҳои баробаринтервал, бузургиҳои миёнаи қаторҳои дараҷагӣ ва сохторӣ (тартибнок) татбиқ карда мешавад.

Миёнаи дараҷагӣ ба миёнаи арифметикӣ, миёнаи гармоникӣ, миёнаи геометрӣ, миёнаи квадратӣ, миёнаи кубӣ ва гайраҳо ҷудо мешавад.

Миёнаи сохторӣ ба мода, медиана ва дигарҳо ҷудо мешавад.

Миёнаи дараҷагӣ (ғайр аз миёнаи геометрӣ), барои ҳар гуна қиматҳои k, бо формулаи умумии зерин ҳисоб карда мешавад: Дар ин ҷо:

M – бузургии миёна; x_i – вариант; n – адади мушоҳидаҳо, ки барои онҳо бузургии миёнаро ҳисоб мекунанд.

Ҳангоми мавҷудияти вазнҳои (зуди) мувофиқи f_i , миёнаи дараҷагии тартиби k-ум аз рӯи формулаи зерин ҳисоб карда мешавад: Дар ин ҷо: n-миқдори интервалҳои синфӣ; f_i-вазн (зуди)-и варианти i-ум.

Миёнаи арифметикӣ. Вобаста аз характери маълумотҳои мавҷуда, миёнаи арифметикӣ ба содда ва баркашидашуда ҷудо мешавад.

Миёнаи арифметикии содда. Ҳамчун суммаи ҳамаи қиматҳои аломатҳои тағйирёбандаи ба адади умумӣ тақсимкардашуда, муайян карда мешавад

Дар ин ҷо: х_i – қимати вариант;

Миёнаи арифметикии содда дар ҳамон ҳолат татбиқ карда мешавад, ки ҳар як ҳодисаи ифодакунандаи қимати индивудиали аломати тағйирёбанда, дар маҷмӯъ як маротиба вомехурад.

Ҳангоми ҳисоби бузургии миёна, қимати аломати миёна метавонад такрор шавад. Дар ин ҳолатҳо, ҳисоби миёна аз рӯи маълумотҳои гурӯҳбандишуда ё қаторҳои вариатсионӣ иҷро карда мешавад, ки мумкин аст дискрети ё интервалӣ бошад, чунин ҳолатро миёнаи арифметикии баркашидашуда меноманд, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб карда мешавд: Мисол. Дар ҷадвали зерин маълумотҳо оиди майдони кишт, ҳосилнокӣ ва ҷамъоварии умумии зироатҳои ғалладона аз рӯи ноҳияҳои вилояти Суғд дар соли 2013 оварда шудааст. Қимати миёнаи масоҳати кишти зироатҳои ғалладона муайян карда шавад.

№	Ноҳияҳо	Майдони кишт ҳазор га	Ҳосилноки, центнер га	Ҷамъоварии умумӣ ҳазор.т
1.	Хуҷанд	3590,4	9,1	32672,64
2.	Истаравшан	753,7	5,8	4371,46
3.	Ашт	485,1	22,6	10963,26
4.	Конибодом	0,9	6,0	5,4
5.	Исфара	567,4	16,5	9362,1
6.	Масчоҳ	372,0	20,7	7700,4
7.	Айни	617,8	9,2	5683,76
8.	Панҷакент	792,1	9,2	7287,32
9.	Масчоҳи кӯҳӣ	2974,0	11,8	35093,2
10.	Ғончӣ	70,1	28,0	1962,8
11.	Шаҳристон	544,7	11,8	6427,46
12.	Нов	3017,0	11,3	34092,1
13.	Ҷ.Расулов	236,5	23,7	5605,05
	Ҷамъ	14021,7	185,7	161227

Аз маълумотҳои дар ҷадвал овардашуда дида мешавад, ки майдони кишти зироатҳои ғалладона вобаста ба ноҳия муайян карда шудааст, яъне дар маҷмӯъ як маротиба вомехӯрад. Барои ҳисоби миёнаи масоҳати кишти зироатҳои ғалладона, миёнаи арифметикии содда истифода мешавад.

Барои ҳисоби ҳосилнокии миёна, миёнаи арифметикии баркашидаро истифода мебарем. Дар ин ҷо ба сифати зудии ҳолатҳо (вазнҳо) майдони кишт истифода мешавад.

4. Ковариация, дисперсия (вариатсия) ва корреляция

Вариацияи интихобӣ бо формулаи зерин ҳисоб карда мешавад.

Ковариацияи интихобӣ (Cov(x, y) )– ин ченаки байниҳам алоқаманд будани ду тағирёбандаро меноманд. Нишондиҳандаи ковариацияи интихобӣ имконият медиҳад, ки алоқамандии ду тағирёбандаро бо адади ягона ифода кунад.

Ковариацияи интихобӣ бо формулаи зерин ҳисоб карда мешавад Коэффисиенти коррелатсияи назариявӣ – ин як ченаки мукамали баҳодиҳии алоқамандии байни ду тағирёбанда мебошад.

Ба монанди ковариатсия ва дисперсия, коэффисиенти коррелятсия ҳам дорои ду шакл мебошад: назариявӣ ва интихобӣ. Ҳар яки инро дар алоҳидагӣ дида мебароем.

Коэффисиенти коррелатсияи назариявӣ одатан бо ҳарфи юнонии

(ро) ишора карда мешавад, ки ин бо ҳарфи лотинии «r» мувофиқат мекунад.

Барои тағиребандаҳои x ва y ин коэффисиент чунин муайян карда мешавад: X Y

Агар х ва y новобаста бошанд, онгоҳ _xy баробари сифр мешавад.

Инчунин ковариатсияи назариявӣ ҳам ба сифр баробар мешавад. Агар байни тағирёбандаҳо вобастагии мусбӣ мавҷуд бошад, онгоҳ ҳам мусбӣ мешавад ва агар манфӣ бошад манфӣ.

xy

Коэффисиенти коррелатсияи интихобӣ r_xy бо роҳи иваз намудани дисперсия ва ковариатсияи назариявӣ бо баҳоҳои ивазнакуниашон дар коэффисиенти коррелатсияи назариявӣ муайян карда мешавад: Ковариация, дисперсия (вариатсия) ва корреляцияи интихобиро дар мисоли зерин дида мебароем:

Мушо хида	Суръати афзоиши ММД (y)	Суръати аф. мах-ти кишоварзи (x)	XY	X2	Y2
1	2	3	6	9	4
2	4	5	20	25	16
3	6	6	36	36	36
4	8	10	80	100	64
Сумма	20	24	142	170	120
Кимати миена	5	6	35,5	42,5	30

Мисол. Дар асоси маълумотҳои дар ҷадвали зерин овардашуда қиматҳои вариатсия, ковариатсия ва коэффисиенти коррелатсияи интихобиро муайян намоед:

Мушохида	Даромади пулӣ ба сари аҳолӣ Y	Хароҷоти истеъмолӣ X	XY	X2	Y2
1	17	11
2	15	8
3	14	9
4	13	6
5	18	14
6	6,5	6
7	19	12
8	18	10
9	21	16
10	8	6
Сумма
Қимати Миёна

Барои бахои сифати интихоби функсияи хатти коэффициенти детерминатсия истифода бурда мешавад. Баъд аз маълум шудани коэффисиенти коррелатсия коэффициенти детерминатсияро бо осони аз руи формулаи зерин ефтан мумкин аст: